課 8.1.3 ｜久期（Duration）與凸性（Convexity）

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3. 講義內容

久期（Duration） 是衡量債券價格對利率變動敏感度的核心指標。麥考利久期（Macaulay Duration）定義為債券現金流的加權平均到期時間，以現值為權重。

修正久期（Modified Duration） = 麥考利久期 ÷（1 + YTM ÷ 付息頻率） 修正久期直接衡量利率變動 1% 時價格變動的百分比。

凸性（Convexity） 衡量久期本身對利率變動的敏感度，即價格-收益率曲線的曲度。凸性為正時，利率下降帶來的價格上升幅度 > 利率上升帶來的價格下降幅度。

價格變動的二階近似： ΔP/P ≈ −修正久期 × ΔYTM + 0.5 × 凸性 ×（ΔYTM）²

久期的特性：

• 票息越高 → 久期越短（現金流回籠更快）
• 期限越長 → 久期越長
• YTM 越高 → 久期越短（遠期現金流折現更多）
• 零息債券的久期 = 到期期限

組合久期： 債券組合的久期 = 各債券久期的市值加權平均。這是利率風險管理的基礎。

免疫策略（Immunization）： 通過匹配資產與負債的久期，消除利率風險。當資產久期 = 負債久期時，利率變動對淨值的影響趨近於零。

實務應用： 基金經理通過調整組合久期來表達利率看空/看多立場。看空利率（預期上升）時縮短久期，看多利率（預期下降）時延長久期。

**久期的直覺理解： 久期衡量債券現金流的「平均回籠時間」。高票息債券的現金流回籠更快，因此久期較短。零息債券的現金流全部在到期日回籠，因此久期等於到期期限。

**凸性的重要性： 凸性衡量價格-收益率曲線的曲度。正凸性意味著利率下降帶來的價格上升幅度 > 利率上升帶來的價格下降幅度。投資者偏好正凸性。

**久期與凸性的關係： 久期是價格對利率的一階導數，凸性是二階導數。久期衡量線性風險，凸性衡量非線性風險。

**組合久期的計算： 債券組合的久期等於各債券久期的市值加權平均。這是利率風險管理的基礎。

**免疫策略的實施： 通過匹配資產與負債的久期，消除利率風險。當資產久期 = 負債久期時，利率變動對淨值的影響趨近於零。

**實務應用： 基金經理通過調整組合久期來表達利率看空/看多立場。看空利率（預期上升）時縮短久期，看多利率（預期下降）時延長久期。

**久期的類型與應用： 久期有多種類型，包括麥考利久期、修正久期和有效久期。麥考利久期衡量現金流的加權平均到期時間，修正久期衡量價格對收益率變動的敏感度，有效久期適用於含權債券。

**凸性的計算與應用： 凸性衡量價格-收益率曲線的曲度。正凸性意味著利率下降帶來的價格上升幅度 > 利率上升帶來的價格下降幅度。投資者偏好正凸性，因為它提供了額外的保護。

**組合久期的管理： 債券組合的久期等於各債券久期的市值加權平均。基金經理通過調整組合久期來管理利率風險。當預期利率上升時縮短久期，預期利率下降時延長久期。

**免疫策略的實施步驟：

1. 計算負債的久期
2. 調整資產組合，使資產久期 = 負債久期
3. 定期再平衡，維持久期匹配
4. 監控利率變動，及時調整

**久期與凸性的互動： 久期衡量線性風險，凸性衡量非線性風險。在利率大幅變動時，凸性的影響更加顯著。投資者應同時考慮久期與凸性。

**實務案例： 保險公司通過匹配資產與負債的久期來管理利率風險。退休基金通過久期免疫來確保未來支付。銀行通過久期管理來穩定淨息差。

4. 核心概念與公式

麥考利久期： D_mac = Σ（t × PV(CF_t)）÷ 債券價格

修正久期： D_mod = D_mac ÷（1 + YTM/m） 其中 m = 每年付息次數

價格變動估算： ΔP/P ≈ −D_mod × ΔYTM

凸性： C = Σ（t(t+1) × PV(CF_t)）÷（P ×（1+YTM/m）²）

二階價格估算： ΔP/P ≈ −D_mod × ΔYTM + 0.5 × C ×（ΔYTM）²

組合久期： D_portfolio = Σ（w_i × D_i） 其中 w_i = 債券 i 的市值權重

久期與期限的關係：

5. 實例演算

修正久期 8 的債券，利率上升 1%：

1. 價格變動 ≈ −8 × 1% = −8%

修正久期 8 = 利率每升 1%，價格跌約 8% ✅

6. Excel 建模步驟

1. 計算麥考利久期（加權平均時間）
2. 修正久期 = 麥考利 ÷（1+YTM/付息次數）
3. 計算凸性
4. 模擬利率 ±1% 的價格變動
5. 附凸性修正
6. 輸出利率風險

檢查式： 久期越長越敏感；修正久期量化 1% 變動；凸性修正非線性。

7. 案例研究

情境示範：加息時，久期長的債券暴跌，久期短的債券僅小幅下跌。教訓：久期是債券利率風險的「放大鏡」，久期越長風險越大。

真實案例（歷史資料，教學用途，不構成投資建議）： 久期是固定收益風險管理的核心，示範「利率敏感度」的量化。

8. 常見錯誤

1. 混淆麥考利與修正久期 —— 概念不同
2. 忽略凸性 —— 大波動誤差
3. 忽略久期越長越敏感 —— 風險判斷
4. 忽略付息頻率 —— 修正久期調整
5. 忽略價格的凸性特徵 —— 非線性

9. 術語表

11. 延伸閱讀

• 下一課：8.1.4 收益率曲線與期限結構
• 課 9.4.1 免疫策略（久期應用）
• 對應影片：EP「債券」相關集數